gauss eliminasyonu ne demek?

Gauss Eliminasyonu

Gauss Eliminasyonu, lineer denklem sistemlerini çözmek için kullanılan temel bir matris yöntemidir. Amacı, verilen denklem sistemini, geri yerine koyma yöntemi ile kolayca çözülebilecek eşelon form veya indirgenmiş eşelon form'a dönüştürmektir.

Aşamaları:

1. İleri Eleme (Forward Elimination): Bu aşamada, denklem sisteminin katsayı matrisi üzerinde temel satır işlemleri (satırları değiştirme, bir satırı bir sabitle çarpma, bir satırı başka bir satırla toplama) uygulanarak, matrisin alt üçgensel kısmı sıfır yapılır. Bu, pivot elemanlar kullanılarak gerçekleştirilir. Pivot elemanı, eleme işleminde referans olarak kullanılan sıfır olmayan ilk elemandır.

2. Geri Yerine Koyma (Back Substitution): İleri eleme tamamlandıktan sonra, elde edilen üçgensel matris kullanılarak, bilinmeyenler sırasıyla bulunur. Son satırdaki denklemden son bilinmeyen bulunur, bu değer bir önceki satırda yerine konarak bir önceki bilinmeyen bulunur ve bu işlem tüm bilinmeyenler bulunana kadar devam eder.

Temel Satır İşlemleri:

• İki satırın yerini değiştirme.
• Bir satırı sıfır olmayan bir sayıyla çarpma.
• Bir satırın bir katını başka bir satıra ekleme.

Özellikleri:

• Gauss eliminasyonu, lineer denklem sistemlerinin çözümü için sistematik ve etkili bir yöntemdir.
• Çok sayıda denklem ve bilinmeyen içeren büyük sistemler için uygundur.
• Determinant hesaplamalarında da kullanılabilir.
• Bilgisayar programları ile kolayca uygulanabilir.

Dikkat Edilmesi Gerekenler:

• Pivot elemanının sıfır olması durumunda, satırlar değiştirilerek veya başka işlemler yapılarak sıfırdan farklı bir pivot elemanı bulunmalıdır.
• Sayısal kararlılık sorunlarına neden olabileceği için, pivot seçimi önemlidir.

Gauss eliminasyonu, doğrusal cebir ve sayısal analiz alanlarında yaygın olarak kullanılan temel bir araçtır.